\section{可见光点对点信道容量下界}{Lower Bound of VLC P2P Channal Capacity}
为了获得下界的闭式表达式，本文假设输入信号$ X $服从连续分布，并且满足瞬时光功率、平均光功率和平均电功率的约束。令$ X $的概率密度函数为$ p_X=f_X\left(x\right) $，则
\begin{align}\label{P2P:SISO:Lower:PDF_Constrains}
    \begin{cases}
        \defint{x}{-A}{A}{f_X\left(x\right)}=1,\\
        f_X\left(x\right)\geq 0, x\in\left[-A,A\right],\\
        f_X\left(x\right)=0,x\notin\left[-A,A\right],
    \end{cases}
\end{align}
此外，概率密度函数$ f_X\left(x\right) $还满足
\begin{subequations}
    \begin{align}
        \mean{X}&=\defint{x}{-A}{A}{xf_X\left(x\right)}=0,\\
        \mean{X^2}&=\defint{x}{-A}{A}{x^2f_X\left(x\right)}=\varepsilon.
    \end{align}
\end{subequations}

从而，根据信息论，本文可以推导得到可见光SISO点对点信道容量$ C^{\mathrm{P2P,SISO}} $的一个下界表达式，
\begin{subequations}
    \begin{align}
        C^{\mathrm{P2P,SISO}}&\geq \maximize{f_X\left(x\right)}{I\left(X;Y\right)}\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:a}\\
        &=\maximize{f_X\left(x\right)}{h\left(Y\right)}-h\left(Z\right)\\
        &=\maximize{f_X\left(x\right)}{h\left(X+b+Z\right)}-h\left(Z\right)\\
        &\geq\maximize{f_X\left(x\right)}{\frac{1}{2}\log_2\left(2^{2h\left(X\right)}+2^{2h\left(Z\right)}\right)}-h\left(Z\right)\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:d}\\
        &=\maximize{f_X\left(x\right)}{\frac{1}{2}\log_2\left(1+\frac{2^{2h\left(X\right)}}{2\pi e \sigma^2}\right)},\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:e}
    \end{align}
\end{subequations}
式中，不等式\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:a}是由于达到信道容量的输入分布为离散分布，同时信道容量等于最大互信息\cite{Smith1971}；不等式\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:d}是根据信息论中常量不影响信源熵大小，即$ h\left(X+b+Z\right)=h\left(X+Z\right) $以及熵功率不等式(Entropy Power Inequality, EPI)\cite{Cover2006}，即当$ X $和$ Z $相互独立时，$ 2^{2h\left(X+Z\right)}\geq 2^{2h\left(X\right)}+2^{2h\left(Z\right)}$得到；等式\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:e}是根据高斯分布的信源熵得到，即$ h\left(Z\right)=\frac{1}{2}\log_2 2\pi e \sigma^2 $。

如果向下界表达式\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:e}中代入不同的连续分布及其微分熵，可以得到不同的下界闭式表达式。显然，在给定的通信系统中，式\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:e}是关于微分熵$ h\left(X\right) $的单调递增函数。因此，可以通过求解输入信号$ X $的最大微分熵来最大化下界\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:e}。

根据微分熵的定义，
\begin{align}
    h\left(X\right)=-\frac{1}{\ln 2}\defint{x}{-A}{A}{f_X\left(x\right)\ln f_X\left(x\right)},
\end{align}
$ h\left(X\right) $是$ f_X\left(x\right) $的凹函数。因此，寻找满足约束的最大微分熵问题可以表示如下优化问题：
\begin{subequations}\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}
    \begin{align}
        \minimize{f_X\left(x\right)}{&\defint{x}{-A}{A}{f_X\left(x\right)\ln f_X\left(x\right)}}\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:a}\\
        \st&\defint{x}{-A}{A}{f_X\left(x\right)}=1,\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:b}\\
        &\defint{x}{-A}{A}{x f_X\left(x\right)}=0,\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:c}\\
        &\defint{x}{-A}{A}{x^2 f_X\left(x\right)}=\varepsilon.\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:d}
    \end{align}
\end{subequations}

因为目标函数\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:a}是凸的，并且约束条件\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:b}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:c}和\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:d}为线性约束，所以微分熵最大化问题\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}为凸优化问题。

通过求解问题\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}，本文可以得到如下定理给出的可见光SISO点对点信道容量下界，并命名为ABG（$ \alpha-\beta-\gamma $）下界：
\begin{theorem}[ABG下界]\label{Thm:P2P:SISO:Lower:ABG}
    令$ \alpha $，$ \beta $和$ \gamma $为如下方程组的解
    \begin{subequations}\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution}
        \begin{align}
            &\frac{\sqrt{\pi}e^{\frac{\beta^2}{4\gamma}}\left(\erf{\frac{\beta+2\gamma A}{2\sqrt{\gamma}}}-\erf{\frac{\beta-2\gamma A}{2\sqrt{\gamma}}}\right)}{2\sqrt{\gamma}e^{1+\alpha}}=1,\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution:a}\\
            &\beta\left(e^{A\left(\beta-\gamma A\right)}-e^{-A\left(\beta+\gamma A\right)}-e^{1+\alpha}\right)=0,\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution:b}\\
            &\frac{1}{4\gamma^2 e^{1+\alpha}}\left[\left(\beta-2\gamma A\right)e^{-A\left(\beta+\gamma A\right)}-\left(\beta+2\gamma A\right)e^{A\left(\beta-\gamma A\right)}\right]+\frac{\beta^2+2\gamma}{4\gamma^2}=\varepsilon.\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution:c}
        \end{align}
    \end{subequations}
对于可见光SISO点对点信道，信道容量的ABG下界为
\begin{align}
C^{\mathrm{P2P,SISO}}\geq \frac{1}{2}\log_2\left(1+\frac{e^{1+2\left(\alpha+\gamma\varepsilon\right)}}{2\pi\sigma^2}\right),\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:ABG}
\end{align}
这一下界可以通过如下分布得到
\begin{align}
{f_X}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {{{e}^{ - 1 - \alpha  - \beta x - \gamma {x^2}}}, - A \le x \le A};\\
    {0,\quad\quad\quad\quad\quad\quad{\rm{otherwise}}}.
    \end{array}} \right.
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
    问题\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}的实质是整型约束条件下的变分问题，其泛函可以构造为
\begin{align}
L &= \defint{x}{-A}{A}{f_X\left(x\right)\ln f_X\left(x\right)}+ \alpha \defint{x}{-A}{A}{f_X\left(x\right)} \nonumber\\
&\quad+ \beta \defint{x}{-A}{A}{xf_X\left(x\right)}  + \gamma \defint{x}{-A}{A}{x^2f_X\left(x\right)},
\end{align}
式中，$ \alpha $，$ \beta $和$ \gamma $分别为约束条件\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:a}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:b}和\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:c}对应的待定系数。

根据变分法，令泛函$ L $关于$ f_X\left(x\right) $的一阶导数等于$ 0 $，
\begin{align}
\frac{{\partial L}}{{{\partial f_X}\left( x \right)}} = \ln {f_X}\left( x \right) + 1 + \alpha  + \beta x + \gamma {x^2} = 0.
\end{align}

因此，最优分布$ f_X\left(x\right) $为
\begin{align}\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:Lagrangian:OptPDF}
{f_X}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {{{e}^{ - 1 - \alpha  - \beta x - \gamma {x^2}}}, - A \le x \le A};\\
    {0,\quad\quad\quad\quad\quad\quad{\rm{otherwise}}},
    \end{array}}\right.
\end{align}
式中，$ \alpha $，$ \beta $和$ \gamma $的取值需要满足约束\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:b}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:c}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:d}。然后，将\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:Lagrangian:OptPDF}代入至约束\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:b}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:c}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:d}中，本文可以得到方程\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution:a}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution:b}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution:c}。

更进一步，本文可以求得最优分布对应的微分熵
\begin{align}
    h\left(X\right)&=\frac{1}{\ln 2}\defint{x}{-A}{A}{\left(1+\alpha+\beta x+\gamma x^2\right)e^{-1-\alpha-\beta x-\gamma x^2}}\nonumber\\
    &=\frac{1+\alpha+\gamma\varepsilon}{\ln 2}\label{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:EntropyVal},
\end{align}
然后，将\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:EntropyVal}代入至\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:e}就可以得到ABG下界公式\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:ABG}，定理\ref{Thm:P2P:SISO:Lower:ABG}得证。
\end{proof}

对于$ \mean{X}=\mu\neq 0 $的情况，同样可以按照上述思路推导得到ABG下界。其中方程\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution:b}需要改写为
\begin{align*}
\frac{1}{2\gamma e^{1+\alpha}}\left(e^{A\left(\beta-\gamma A\right)}-e^{-A\left(\beta+\gamma A\right)}\right)-\frac{\beta}{2\gamma}=\mu,
\end{align*}
满足约束条件的最大微分熵分布微分熵为
\begin{align*}
h\left(X\right)&=\frac{1}{\ln 2}\defint{x}{-A}{A}{\left(1+\alpha+\beta x+\gamma x^2\right)e^{-1-\alpha-\beta x-\gamma x^2}}\nonumber\\
&=\frac{1+\alpha+\beta\mu+\gamma\varepsilon}{\ln 2},
\end{align*}

更进一步，本文可以证明对于当前系统模型，截断高斯分布和连续均匀分布是满足约束条件的最大微分熵分布的特例，为了不失一般性以及表达简洁，后文中统一使用ABG分布指代满足约束条件的最大微分熵分布。

定义辅助变量  
\begin{align}
\phi &=\frac{A^2}{\varepsilon}.
\end{align}

\begin{proposition}
    $ \phi $存在下界，即$ \phi\geq 1 $，当且仅当$ X $服从伯努利分布时，等号成立。
\end{proposition}
\begin{proof}
    根据Popoviciu不等式\cite{popoviciu1935equations,Seaman2004}：对于一个有界的随机变量$ Q\in\left[a,b\right] $，其方差存在上界,$ \var{Q}\leq\frac{\left(b-a\right)^2}{4} $,当且仅当$ Q $服从伯努利分布时，等号成立。
    因此，对于图\ref{Fig:P2P:SISO:SystemModel}所示的可见光SISO点对点信道，有$ \varepsilon\leq A^2 $，即$ \phi \geq 1 $。
\end{proof}

ABG分布与连续均匀分布的关系由如下命题给出。
\begin{proposition}\label{Thm:P2P:SISO:Lower:Uniform=ABG}
    当$ \phi=3 $时，定义在$ \left[-A,A\right] $上的连续均匀分布是问题\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}的解。
\end{proposition}
\begin{proof}
    已知当只有幅度约束$ -A\leq X \leq A $时，最大熵分布为定义在$ \left[-A,A\right] $上的连续均匀分布$ f^{\mathrm{U}}_X\left(x\right) $，由于随机变量的约束条件越多，信源熵越小，问题\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}解的信源熵不大于连续均匀分布$ f^{\mathrm{U}}_X\left(x\right) $的信源熵\cite{Cover2006}。
    
    当$ \phi=3 $时，$ \varepsilon=\frac{A^2}{3} $，显然连续均匀分布$ f^{\mathrm{U}}_X\left(x\right) $满足约束条件\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:b}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:c}，\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem:d}，因此，此时连续均匀分布$ f^{\mathrm{U}}_X\left(x\right) $就是问题问题\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}的解。
    
    此时，方程组\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution}无解，根据奇异最大熵计算方法，可以忽略均值和均方约束，解出$ \alpha=\ln\left(\frac{2A}{e} \right) $，同时$ \beta $和$ \gamma $可以取任意值，进而使ABG分布的微分熵以任意小的误差逼近连续均匀分布$ f^{\mathrm{U}}_X\left(x\right) $的微分熵，当$ \alpha=\ln\left(\frac{2A}{e} \right),\beta=\gamma=0 $时，ABG分布和连续均匀分布$ f^{\mathrm{U}}_X\left(x\right) $等价。
\end{proof}

截断高斯分布的概率密度函数为
\begin{align}
f^{\mathrm{TG}}_X\left(x\right)=
\begin{cases}
&\frac{1}{\eta v\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left(x-u\right)^2}{2v^2}},-A\leq X \leq A;\\
&0,\quad\quad\quad\quad\quad \mathrm{otherwise}.
\end{cases}
\end{align}
式中，$ u\in\bbR $和$ v\in\bbR^{+} $分别表示母分布的均值和标准差，即母分布为$ \calN\left(u,v\right) $,$ \eta $为归一化系数，令$ \phi\left(x\right) $与$ \Phi\left(x\right) $分别表示标准高斯分布的概率密度函数和累积分布函数，则$ \eta =\Phi\left(\frac{A-u}{v}\right)-\Phi\left(\frac{-A-u}{v}\right) $。
同时截断高斯的均值和均方分别为
\begin{align*}
\mean{X}&=u+\frac{v}{\eta}\left(\pdfl-\pdfu \right)=0,\\
\mean{X^2}&=u^2+v^2\left[1+\frac{1}{\eta}\left(\svall\pdfu-\svalu\pdfl\right)\right]=\varepsilon.
\end{align*}

截断高斯和ABG分布的关系由如下命题给出
\begin{proposition}\label{Thm:P2P:SISO:Lower:TG=ABG}
    当$ \phi\neq 3 $时，满足幅度约束$ -A\leq X\leq A $，均值约束$ \mean{X}=0 $和均方约束$ \mean{X^2}=\varepsilon $的截断高斯分布为问题\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Problem}的解。
\end{proposition}

\begin{proof}
    定义如下变量
    \begin{subequations}
        \begin{align}
        &\widetilde{\alpha} \triangleq \frac{u^2}{2v^2}+\ln{\eta v\sqrt{2\pi}}-1,\\
        &\widetilde{\beta} \triangleq -\frac{u}{v^2},\\
        &\widetilde{\gamma} \triangleq \frac{1}{2v^2}.
        \end{align}
    \end{subequations}
    
    将$ \widetilde{\alpha} $，$ \widetilde{\beta} $，$ \widetilde{\gamma} $代入\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution}三个方程的等号左侧，可以验证$ \widetilde{\alpha},\widetilde{\beta},\widetilde{\gamma} $是方程组\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:MaxEntropy:Solution}的一组解。再将$ \widetilde{\alpha} $，$ \widetilde{\beta} $，$ \widetilde{\gamma} $代入最大熵问题的拉格朗日函数的导数表达式，可以验证其为一个驻点。
    
    所以当$ \phi\neq 3 $时，截断高斯分布是满足约束的最大熵分布。
\end{proof}